(lambda_kappa)=
# De la $C_c$, $C_s$ la $\lambda$, $\kappa$

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Nimic nou aici — aceleași două drepte, aceleași pante. Schimbăm doar **unitățile**: pe verticală $v$ în loc de $e$ (translație cu 1), iar pe orizontală logaritm natural în loc de zecimal (schimbare de scară cu 2,303). Facem asta pentru că formulele teoriei, care conțin derivate, devin mult mai curate cu $\ln$.
```

## Definiții

Teoria stării critice scrie cele două drepte astfel:

$$
\text{NCL:}\quad v = N - \lambda \ln p'
$$

$$
\text{URL:}\quad v = v_\kappa - \kappa \ln p'
$$

unde:

- $\lambda$ (lambda) este panta liniei de compresiune normală în planul $v$–$\ln p'$ — adimensională [–], ca orice pantă dintre două mărimi adimensionale ($v$ și $\ln$ al unui raport de presiuni);
- $\kappa$ (kappa) este panta liniei de descărcare–reîncărcare [–];
- $N$ [–] este valoarea lui $v$ pe NCL la $p' = 1$ kPa: o constantă a materialului, care fixează poziția dreptei. Atenție: în $\ln p'$, $p'$ se citește „în kPa”, adică $\ln(p'/1\ \text{kPa})$; de aceea $N$ (și, mai târziu, $\Gamma$) depinde de unitatea aleasă pentru presiune;
- $v_\kappa$ fixează poziția unei anumite URL — fiecare presiune de preconsolidare are propria ei URL, deci $v_\kappa$ **nu** este o constantă a materialului.

```{admonition} Despre $p'$ în loc de $\sigma'_v$
:class: note
Teoria folosește efortul **mediu** $p' = (\sigma'_1+\sigma'_2+\sigma'_3)/3$, nu pe cel vertical, pentru că vrea să descrie orice stare de eforturi, nu doar edometrul. Îl definim riguros în {ref}`p_q`. Deocamdată reține că în edometru $p' = \sigma'_v(1+2K_0)/3$, iar dacă $K_0$ este constant, $\ln p' = \ln\sigma'_v + \text{const}$ — deci **panta** dreptelor este aceeași indiferent dacă pe orizontală pui $\sigma'_v$ sau $p'$. Doar poziția ($N$) se schimbă.
```

## Conversia

Pentru că $v = 1+e$ (deci $\Delta v = \Delta e$) și $\ln x = 2{,}303 \log_{10} x$:

$$
\boxed{\,\lambda = \frac{C_c}{\ln 10} = \frac{C_c}{2{,}303}\,}, \qquad
\boxed{\,\kappa \approx \frac{C_s}{\ln 10} = \frac{C_s}{2{,}303}\,}
$$

„Aproximativ” la $\kappa$ pentru că, strict, descărcarea în edometru nu este izotropă (variază și $K_0$), iar $\kappa$ din Cam-Clay se referă la descărcare **izotropă**. În practică, diferența se ignoră.

## Valori tipice

| Pământ (sursa) | $\lambda$ [–] | $\kappa$ [–] | $\kappa/\lambda$ [–] |
|---|---|---|---|
| Weald Clay (Schofield & Wroth, 1968) | 0,093 | 0,035 | 0,38 |
| London Clay (Schofield & Wroth, 1968) | 0,161 | 0,062 | 0,39 |
| Kaolin (laborator, diverse surse) | 0,19–0,26 | 0,03–0,05 | ~0,2 |
| argilă moale NC, $C_c = 0{,}4$ | 0,17 | ~0,02–0,03 | ~0,15 |
| nisip (la eforturi uzuale) | 0,01–0,03 | 0,003–0,01 | — |

Remarcă ordinul de mărime: $\lambda$ între 0,05 și 0,3; $\kappa$ de 3–10 ori mai mic.

## Legătura cu deformațiile

Pe NCL, o creștere a lui $p'$ de la $p'_a$ la $p'_b$ produce

$$
\Delta v = -\lambda \ln\frac{p'_b}{p'_a}, \qquad
\varepsilon_v = -\frac{\Delta v}{v} = \frac{\lambda}{v}\ln\frac{p'_b}{p'_a}.
$$

Partea **elastică** (recuperabilă) a acestei deformații este cea pe care am obține-o pe URL:

$$
\varepsilon_v^{e} = \frac{\kappa}{v}\ln\frac{p'_b}{p'_a},
$$

iar partea **plastică** este diferența:

$$
\boxed{\,\varepsilon_v^{p} = \frac{\lambda-\kappa}{v}\ln\frac{p'_b}{p'_a}\,}
$$

Combinația $\lambda - \kappa$ va apărea peste tot în Cam-Clay: ea măsoară „câtă deformație permanentă produce o creștere a efortului”. Dacă $\kappa \to \lambda$, pământul ar fi perfect elastic; dacă $\kappa \to 0$, toată deformația ar fi plastică.

```{admonition} Un modul elastic variabil
:class: dropdown
Din URL rezultă modulul de deformație volumică (*bulk modulus*) elastic:

$$
K' = \frac{\mathrm{d}p'}{\mathrm{d}\varepsilon_v^e} = \frac{v\,p'}{\kappa}.
$$

El crește liniar cu $p'$ — o consecință directă a dreptei în $\ln p'$. Cu $v = 2$ [–], $\kappa = 0{,}03$ [–], $p' = 100$ kPa: $K' \approx 6{,}7$ MPa. Aceasta este rigiditatea pe care o folosește Cam-Clay în interiorul suprafeței de curgere.
```

```{admonition} Rezumat
:class: important
- $\lambda = C_c/2{,}303$, $\kappa = C_s/2{,}303$; aceleași drepte, alte unități.
- NCL: $v = N - \lambda\ln p'$. URL: $v = v_\kappa - \kappa\ln p'$.
- Deformația plastică de volum este proporțională cu $(\lambda-\kappa)$.
- Avem deja **trei** din cei cinci parametri ai Cam-Clay: $\lambda$, $\kappa$, $N$. Ceilalți doi ($M$ și $\Gamma$) vin din forfecare — capitolul următor.
```