(p_q)=
# Efortul mediu $p'$ și efortul deviator $q$

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Orice stare de eforturi poate fi despărțită în două: o parte care **strânge** uniform din toate părțile (și schimbă doar volumul) și o parte care **deformează forma** (și produce forfecare). Prima este $p'$, a doua este $q$. Consolidarea izotropă este numai $p'$; edometrul este mai ales $p'$, cu puțin $q$; cutia de forfecare schimbă mai ales $q$; triaxialul le controlează pe amândouă.
```

## Definiții (triaxial)

Pentru starea de eforturi din triaxial ($\sigma'_a$ axial, $\sigma'_r$ radial):

$$
\boxed{\,p' = \frac{\sigma'_a + 2\sigma'_r}{3}\,} \qquad
\boxed{\,q = \sigma'_a - \sigma'_r = \sigma_a - \sigma_r\,}
$$

- $p'$ este **efortul mediu efectiv** (media celor trei eforturi principale efective). Unitate: kPa. Este „presiunea” pe care o simte scheletul.
- $q$ este **efortul deviator**. Unitate: kPa. Este „cât de inegale” sunt eforturile; dacă $q = 0$, starea este izotropă și nu există forfecare. În compresiune triaxială $q \ge 0$; în extensiune ($\sigma'_a < \sigma'_r$) $q < 0$.

Invers:

$$
\sigma'_a = p' + \tfrac{2}{3}q, \qquad \sigma'_r = p' - \tfrac{1}{3}q .
$$

## Cazuri particulare

| Stare | $p'$ [kPa] | $q$ [kPa] |
|---|---|---|
| consolidare izotropă, $\sigma'_a = \sigma'_r = \sigma'_0$ | $\sigma'_0$ | 0 |
| edometru / *in situ*, $\sigma'_h = K_0\sigma'_v$ | $\sigma'_v\,(1+2K_0)/3$ | $\sigma'_v\,(1-K_0)$ |
| cedare Mohr–Coulomb ($c'=0$) | — | $q/p' = M$ (pagina {ref}`csl`) |

Exemplul din {ref}`ex1_3`: $\sigma'_v = 80{,}5$ kPa, $\sigma'_h = 48{,}3$ kPa ⇒ $p' = (80{,}5 + 2\cdot48{,}3)/3 = 59{,}0$ kPa, $q = 32{,}2$ kPa. Pământul *in situ* nu este niciodată la $q = 0$: este deja parțial forfecat de propria greutate.

## Totale și efective

$$
p = \frac{\sigma_a + 2\sigma_r}{3} = p' + u, \qquad q = q'
$$

Presiunea apei mută starea pe orizontală (schimbă $p'$) și **nu afectează $q$**. Asta este, în coordonate $p'$–$q$, principiul lui Terzaghi din {ref}`efort_efectiv`.

## Legătura cu cercul lui Mohr

Dacă ai învățat forfecarea cu cercul lui Mohr: centrul cercului este $s' = (\sigma'_a+\sigma'_r)/2$, raza este $t = (\sigma'_a-\sigma'_r)/2 = q/2$. Deci $q = 2t$ și $p' = s' - t/3$. Perechea $(s', t)$ (notația MIT) și perechea $(p', q)$ (notația Cambridge) spun același lucru; Cambridge o preferă pe a doua pentru că $p'$ este media **tuturor** celor trei eforturi, deci se generalizează corect în 3D.

```{admonition} Pentru cei curioși: forma generală
:class: dropdown
Pentru o stare oarecare de eforturi (nu neapărat axial-simetrică):

$$
p' = \frac{\sigma'_1+\sigma'_2+\sigma'_3}{3}, \qquad
q = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma'_1-\sigma'_2)^2+(\sigma'_2-\sigma'_3)^2+(\sigma'_3-\sigma'_1)^2\right]}.
$$

$p'$ este $1/3$ din primul invariant al tensorului de eforturi; $q$ este $\sqrt{3J_2}$, cu $J_2$ al doilea invariant al deviatorului. Pentru triaxial ($\sigma'_2 = \sigma'_3$) formula de $q$ se reduce la $\sigma'_1-\sigma'_3$. Aceasta este forma pe care o folosesc programele de element finit (PLAXIS, MIDAS GTS NX) când implementează Cam-Clay.
```

## Deformațiile conjugate

Fiecărui efort îi corespunde o deformație astfel încât produsul lor să fie lucrul mecanic pe unitate de volum, $\delta W = p'\,\delta\varepsilon_v + q\,\delta\varepsilon_s$:

$$
\varepsilon_v = \varepsilon_a + 2\varepsilon_r \quad(\text{volumică}), \qquad
\varepsilon_s = \tfrac{2}{3}(\varepsilon_a - \varepsilon_r) \quad(\text{deviatorică, de forfecare}).
$$

Nu le vom folosi mult înainte de cap. 6, dar observă simetria: $p'$ lucrează cu $\varepsilon_v$ (volum), $q$ cu $\varepsilon_s$ (formă). În nedrenat $\varepsilon_v = 0$ ⇒ $\varepsilon_s = \varepsilon_a$.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- $p' = (\sigma'_a + 2\sigma'_r)/3$ — strânge; $q = \sigma'_a - \sigma'_r$ — forfecă.
- $u$ schimbă $p'$, nu $q$.
- *In situ*: $p' = \sigma'_v(1+2K_0)/3$, $q = \sigma'_v(1-K_0)$.
```