(familii)=
# Drumuri care seamănă între ele

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Fă aceeași încercare pe trei probe din aceeași argilă, consolidate la 100, 200 și 400 kPa. Vei obține trei curbe diferite. Dar dacă le privești cu atenție, a doua este prima mărită de două ori, iar a treia este prima mărită de patru ori. Când mai multe curbe diferă doar prin scară, în spatele lor stă **o singură curbă**. Pe ea o căutăm.
```

## Experimentul

Luăm trei probe de argilă **normal consolidată**, consolidate izotrop în triaxial la $p'_0 = 100$, $200$ și $400$ kPa, și le forfecăm **nedrenat** (încercare CU, vezi {ref}`drenat_nedrenat`). Măsurăm presiunea apei din pori și desenăm drumurile de eforturi efective în planul $q$–$p'$.

```{figure} ../figures/svg/cai_nedrenate.svg
---
width: 80%
name: fig_cai_nedrenate
---
Drumurile de eforturi efective la forfecare nedrenată pentru trei probe normal consolidate (Weald Clay, forma drumurilor calculată cu modelul din capitolul 6). Toate pornesc de pe axa $p'$, se curbează spre stânga (presiunea apei crește, $p'$ scade) și se opresc pe CSL. Pe orice rază prin origine (de exemplu $q/p' = 0{,}5$, linia întreruptă) cele trei drumuri sunt tăiate la distanțe proporționale cu $p'_0$.
```

Ce observăm:

1. **Toate cele trei drumuri au aceeași formă.** Drumul probei de 400 kPa este drumul probei de 100 kPa mărit de 4 ori, cu originea ca centru.
2. Toate se termină pe CSL, la același raport $q/p' = M = 0{,}95$ [–] — asta știam deja din {ref}`csl`.
3. Raportul dintre efortul mediu final și cel inițial este același la toate: $p'_{cs}/p'_0 \approx 0{,}65$ [–].

| $p'_0$ [kPa] | $p'_{cs}$ [kPa] | $q_{cs}$ [kPa] | $c_u = q_{cs}/2$ [kPa] | $p'_{cs}/p'_0$ [–] | $c_u/p'_0$ [–] |
|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 65 | 62 | 31 | 0,65 | 0,31 |
| 200 | 130 | 124 | 62 | 0,65 | 0,31 |
| 400 | 260 | 247 | 124 | 0,65 | 0,31 |

Ultima coloană este un rezultat pe care inginerii îl folosesc de aproape un secol: **la o argilă normal consolidată, rezistența nedrenată este proporțională cu efortul de consolidare**. Raportul $c_u/p'_0$ (sau, în teren, $c_u/\sigma'_{v0}$) este o constantă a argilei. Acum vedem de unde vine: este o consecință a faptului că drumurile sunt asemenea.

## De ce sunt asemenea

Nu este o coincidență. În planul de compresiune $v$–$\ln p'$, NCL și CSL sunt **paralele** (au aceeași pantă $\lambda$, vezi {ref}`ncl_url`). O probă nedrenată se mișcă la $v$ constant, deci orizontal, de la NCL la CSL. Distanța orizontală dintre două drepte paralele, măsurată pe o axă logaritmică, este aceeași oriunde — iar o distanță constantă pe o axă logaritmică înseamnă un **raport** constant:

$$
\ln p'_0 - \ln p'_{cs} = \frac{N - \Gamma}{\lambda}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{p'_{cs}}{p'_0} = \exp\!\left(\frac{\Gamma - N}{\lambda}\right) = \exp\!\left(\frac{2{,}060 - 2{,}100}{0{,}093}\right) = 0{,}65\ [\text{–}].
$$

Paralelismul celor două drepte este cel care face ca argila „să nu aibă o scară proprie de eforturi”: comportarea la 400 kPa este comportarea la 100 kPa, cu toate eforturile înmulțite cu 4.

```{admonition} Atenție: asemănarea este valabilă pentru același grad de supraconsolidare
:class: warning
Am comparat trei probe **normal consolidate**. Trei probe cu același $R_p = p'_0/p'$ [–] (de exemplu toate cu $R_p = 4$) ar da, la rândul lor, trei drumuri asemenea între ele — dar cu **altă** formă decât cele NC. Forma drumului depinde de cât de departe este proba de NCL; scara depinde de nivelul eforturilor. Pagina următoare separă aceste două lucruri.
```

## Întrebarea care urmează

Dacă toate drumurile nedrenate NC sunt aceeași curbă la altă scară, ar trebui să existe un mod de a **împărți** eforturile la „scara” fiecărei probe astfel încât toate drumurile să se suprapună. La probele NC nedrenate scara evidentă este $p'_0$. Dar ce facem cu o probă drenată, al cărei volum se schimbă pe parcurs? Sau cu una supraconsolidată? Avem nevoie de o scară care să se poată calcula pentru **orice** stare, în orice moment al încercării. Ea se numește presiunea echivalentă.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Drumurile nedrenate ale probelor NC din același pământ sunt **asemenea geometric**: aceeași formă, scară proporțională cu $p'_0$ [kPa].
- De aceea $c_u/p'_0$ [–] este constant la o argilă NC.
- Cauza: NCL și CSL sunt paralele în $v$–$\ln p'$; raportul $p'_{cs}/p'_0 = \exp[(\Gamma-N)/\lambda]$ [–] nu depinde de nivelul eforturilor.
```