(roscoe)=
# Presiunea echivalentă și suprafața Roscoe

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Ca să compari doi oameni de înălțimi diferite, nu le compari lungimea brațelor în centimetri, ci raportul dintre braț și înălțime. La pământ, „înălțimea” la care raportăm eforturile este **cea mai mare presiune pe care proba ar putea-o duce la volumul pe care îl are acum**. Fiecărui volum specific îi corespunde o astfel de presiune; ea se citește de pe NCL.
```

## Presiunea echivalentă $p'_e$

Fie o probă cu volumul specific $v$ [–], la o stare oarecare de eforturi. Ducem prin starea ei o orizontală în planul $v$–$\ln p'$ până la NCL. Presiunea citită acolo este **presiunea echivalentă**:

$$
\boxed{\,p'_e = \exp\!\left(\frac{N - v}{\lambda}\right)\ [\text{kPa}]\,}
$$

Formula este ecuația NCL, $v = N - \lambda \ln p'$, rezolvată pentru $p'$. Rezultatul iese în kPa pentru că $N$ este definit la $p' = 1$ kPa.

Trei lucruri de reținut despre $p'_e$:

- depinde **numai de $v$** (și de constantele $N$, $\lambda$ ale pământului). Nu depinde de $p'$, de $q$ sau de istorie;
- într-o încercare **nedrenată** $v$ este constant, deci $p'_e$ este constant pe toată durata forfecării;
- într-o încercare **drenată** $v$ se schimbă, deci $p'_e$ se schimbă: crește când proba se contractă, scade când se dilată.

| $v$ [–] | 1,70 | 1,65 | 1,60 | 1,55 | 1,50 |
|---|---|---|---|---|---|
| $p'_e$ [kPa] (Weald Clay) | 74 | 126 | 216 | 370 | 634 |

O scădere de numai 0,05 a volumului specific aproape dublează presiunea echivalentă. De aceea micile diferențe de umiditate între probe contează atât de mult.

```{admonition} $p'_e$ nu este $p'_0$
:class: warning
$p'_0$ [kPa] este presiunea de preconsolidare: cea mai mare presiune pe care proba **a dus-o** (memoria ei, vezi {ref}`nc_oc`). $p'_e$ [kPa] este presiunea de pe NCL la **volumul actual**. La o probă normal consolidată aflată pe axa $p'$ cele două coincid. La o probă supraconsolidată, $p'_e < p'_0$, pentru că la descărcare proba s-a umflat puțin, iar $v$ a crescut. Exemplu: Weald Clay consolidată la $p'_0 = 800$ kPa și descărcată la 50 kPa are $v = 1{,}575$ [–] și $p'_e = 282$ kPa.
```

## Planul normalizat

Împărțim acum ambele eforturi la $p'_e$ și desenăm fiecare stare în planul cu axele

$$
\frac{p'}{p'_e}\ [\text{–}] \qquad \text{și} \qquad \frac{q}{p'_e}\ [\text{–}] .
$$

În acest plan:

- orice stare de pe **NCL** ($q = 0$, $p' = p'_e$) cade în punctul $(1;\ 0)$;
- orice stare de pe **CSL** cade într-un singur punct. La același $v$, $p'_{cs} = \exp[(\Gamma - v)/\lambda]$, deci

$$
\frac{p'_{cs}}{p'_e} = \exp\!\left(\frac{\Gamma - N}{\lambda}\right) = 0{,}65\ [\text{–}], \qquad
\frac{q_{cs}}{p'_e} = M \cdot 0{,}65 = 0{,}62\ [\text{–}] .
$$

Două **linii** din spațiul $(p', q, v)$ au devenit două **puncte**. Normalizarea a „strivit” axa $v$: toate secțiunile la $v$ constant s-au suprapus.

## Rezultatul experimental

Punem în planul normalizat drumurile din {ref}`familii`. Cele trei drumuri nedrenate NC cad pe **o singură curbă**, de la $(1;\ 0)$ la $(0{,}65;\ 0{,}62)$. Asta era de așteptat.

Surpriza este alta. Luăm o probă NC și o forfecăm **drenat**. Drumul ei în $q$–$p'$ este cu totul altul (dreapta 3:1 din {ref}`cai_de_eforturi`), iar volumul scade continuu. Calculăm, în fiecare moment al încercării, $p'_e$ din volumul de atunci și normalizăm. **Punctele cad pe aceeași curbă.**

```{admonition} Exemplu numeric
:class: note
Probă NC de Weald Clay, $p'_0 = 300$ kPa, deci $v_0 = 2{,}100 - 0{,}093 \ln 300 = 1{,}570$ [–].

**Nedrenat.** $v = 1{,}570$ [–] constant, deci $p'_e = 300$ kPa tot timpul. La stare critică $p'_{cs} = \exp[(2{,}060 - 1{,}570)/0{,}093] = 195$ kPa și $q_{cs} = 0{,}95 \cdot 195 = 185$ kPa. Normalizat: $(195/300;\ 185/300) = (0{,}65;\ 0{,}62)$ [–].

**Drenat.** Drumul 3:1 întâlnește CSL la $p'_{cs} = 3 \cdot 300/(3 - 0{,}95) = 439$ kPa, $q_{cs} = 417$ kPa. Volumul a scăzut la $v_{cs} = 2{,}060 - 0{,}093 \ln 439 = 1{,}494$ [–], deci $p'_e = \exp[(2{,}100 - 1{,}494)/0{,}093] = 675$ kPa. Normalizat: $(439/675;\ 417/675) = (0{,}65;\ 0{,}62)$ [–].

Două încercări care, în kPa, se termină în locuri complet diferite (195 kPa față de 439 kPa) se termină în **același punct** al planului normalizat.
```

Faptul că se potrivesc punctele finale decurge din definiții. Faptul că se potrivește **tot drumul** este un rezultat de laborator, verificat pe multe argile, începând cu Rendulic (1936) și continuând cu Henkel (1960) și cu Roscoe, Schofield și Wroth (1958). Curba comună se numește **suprafața Roscoe**.

```{figure} ../figures/svg/sectiuni_v_const.svg
---
width: 80%
name: fig_sectiuni
---
Trei secțiuni la volum specific constant prin suprafața de stare limită (Weald Clay). Fiecare secțiune este aceeași figură, mărită proporțional cu $p'_e$ [kPa]. Portocaliu: suprafața Roscoe, de la NCL (punctele de pe axă) la CSL. Roșu și gri: partea „uscată”, discutată în {ref}`hvorslev`.
```

## Ce înseamnă „suprafață”

De ce îi spunem suprafață, dacă în planul normalizat este o curbă? Pentru că planul normalizat este o imagine comprimată a spațiului cu trei axe. Fiecărui $v$ îi corespunde o copie a curbei, mărită cu factorul $p'_e(v)$ ({numref}`fig_sectiuni`). Puse una lângă alta de-a lungul axei $v$, copiile formează o suprafață curbă care se sprijină jos pe NCL și sus pe CSL. O vom vedea întreagă în {ref}`suprafata_completa`.

Suprafața Roscoe are două proprietăți care o fac importantă:

1. **Este o graniță.** Nicio probă din acest pământ nu a fost adusă vreodată într-o stare aflată dincolo de ea (la dreapta și deasupra curbei, în planul normalizat). O probă cu $v = 1{,}60$ [–] nu poate duce, de exemplu, $p' = 180$ kPa și $q = 150$ kPa în același timp.
2. **Probele normal consolidate merg pe ea.** O probă NC pornește din punctul $(1;\ 0)$, care este deja pe suprafață, și rămâne pe suprafață până la stare critică, orice drum de eforturi i-am impune. Diferitele încercări (drenat, nedrenat, $p'$ constant) sunt doar trasee diferite pe aceeași suprafață.

```{admonition} Ce formă are curba, exact?
:class: note
Deocamdată curba este un rezultat de laborator: o desenăm prin puncte măsurate. Capitolul 6 va deduce pentru ea o ecuație din câteva ipoteze simple. Ca să poți face calcule de pe acum, iată rezultatul modelului Cam-Clay modificat, pe care l-am folosit și la desenarea figurilor:

$$
\frac{p'}{p'_e} = \left(\frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\right)^{(\lambda-\kappa)/\lambda}, \qquad \eta = \frac{q}{p'}\ [\text{–}], \quad 0 \le \eta \le M .
$$

Pentru Weald Clay exponentul este $(0{,}093 - 0{,}035)/0{,}093 = 0{,}624$ [–]. La $\eta = 0$ rezultă $p'/p'_e = 1$ (NCL); la $\eta = M$ rezultă $2^{-0{,}624} = 0{,}65$ (CSL).
```

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Presiunea echivalentă $p'_e = \exp[(N - v)/\lambda]$ [kPa] este presiunea de pe NCL la volumul specific actual. Depinde numai de $v$.
- În planul normalizat $(p'/p'_e;\ q/p'_e)$ [–], NCL devine punctul $(1;\ 0)$, iar CSL punctul $(\exp[(\Gamma-N)/\lambda];\ M\exp[(\Gamma-N)/\lambda])$ = $(0{,}65;\ 0{,}62)$ pentru Weald Clay.
- Drumurile drenate și nedrenate ale probelor NC cad pe aceeași curbă: **suprafața Roscoe**. Ea leagă NCL de CSL și este o graniță a stărilor posibile.
```