(suprafata_completa)=
# Suprafața completă și peretele elastic

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Imaginează-ți un cort întins peste o podea. Podeaua este planul $q = 0$, cu axele $p'$ și $v$. Pânza cortului este suprafața de stare limită. Starea unei probe este un punct: poate sta oriunde **sub** pânză, poate aluneca **pe** pânză, dar nu poate trece **prin** ea. Tot ce am învățat până acum sunt linii pe acest cort: NCL este marginea prinsă de podea, iar CSL este creasta.
```

## Suprafața în trei dimensiuni

```{figure} ../figures/svg/sbs_3d.svg
---
width: 95%
name: fig_sbs_3d
---
Suprafața de stare limită a argilei Weald în spațiul $(p', v, q)$. Față de figura din {ref}`volum_specific`, spațiul este rotit: $q$ este pe verticală, iar $v$ crește spre privitor. Portocaliu: suprafața Roscoe, între NCL (pe podea) și CSL (creasta). Roșu: suprafața Hvorslev. Gri: limita de întindere $q = 3p'$. Liniile subțiri sunt secțiuni la $v$ constant, din 0,05 în 0,05, de la $v = 1{,}50$ (în spate) la $v = 1{,}75$ (în față). Albastru: drumul nedrenat al unei probe NC cu $v = 1{,}60$. Verde: drumul drenat al unei probe NC cu $p'_0 = 200$ kPa.
```

Cum se citește figura:

- **Secțiunile la $v$ constant** (liniile subțiri) sunt exact curbele din {numref}`fig_sectiuni`. Cele din spate, la $v$ mic, sunt mari; cele din față, la $v$ mare, sunt mici. Toate au aceeași formă: cea din {numref}`fig_sbs_normalizat`.
- **Drumul nedrenat** (albastru) rămâne într-o singură secțiune, pentru că $v$ nu se schimbă. De aceea drumurile nedrenate din {numref}`fig_cai_nedrenate` au forma secțiunii.
- **Drumul drenat** (verde) taie secțiunile pieziș: pe măsură ce $q$ crește, proba se contractă și trece în secțiuni tot mai mari, spre spatele figurii. Proiecția lui pe planul $q$–$p'$ este dreapta 3:1.
- Ambele drumuri sunt **pe** suprafață de la primul până la ultimul punct, pentru că probele sunt normal consolidate.

## Trei feluri de stări

| Unde este starea | Ce înseamnă | Cum se deformează proba |
|---|---|---|
| **în interior** (sub suprafață) | probă supraconsolidată | elastic: deformații mici, care se recuperează la descărcare |
| **pe suprafață** | probă care curge plastic | deformații mari, care nu se recuperează; suprafața „ghidează” starea spre CSL |
| **în exterior** | imposibil | — |

„Elastic în interior” este o simplificare, cea mai importantă a teoriei clasice. Pământurile reale au deformații plastice mici și sub suprafață; modelele din capitolul 10 corectează acest lucru. Pentru înțelegere, simplificarea este foarte utilă.

## Peretele elastic

Dacă în interior comportarea este elastică, atunci acolo volumul se schimbă numai după linia de descărcare–reîncărcare (URL) din {ref}`ncl_url`:

$$
v = v_\kappa - \kappa \ln p', \qquad v_\kappa = N - (\lambda - \kappa)\ln p'_0 \ [\text{–}].
$$

În această relație **nu apare $q$**. Oricât am schimba efortul deviator, cât timp proba rămâne elastică, perechea $(p', v)$ rămâne pe aceeași URL. În spațiul cu trei axe, toate stările la care proba poate ajunge fără deformații plastice formează deci o suprafață verticală ridicată deasupra URL: **peretele elastic**. Fiecare presiune de preconsolidare $p'_0$ [kPa] are peretele ei.

De aici rezultă imediat o proprietate folosită în {ref}`hvorslev`: într-o încercare **nedrenată**, $v$ este constant; pe peretele elastic, $v$ constant înseamnă $p'$ constant. Drumul de eforturi efective al unei probe supraconsolidate urcă deci **vertical** în planul $q$–$p'$ până când atinge suprafața de stare limită.

## Curba de curgere

Peretele elastic se oprește sus, acolo unde întâlnește suprafața de stare limită. Muchia lui de sus, văzută în planul $q$–$p'$, este **curba de curgere** (*yield curve*): granița dintre comportarea elastică și cea plastică pentru proba cu acel $p'_0$.

```{figure} ../figures/svg/perete_elastic.svg
---
width: 80%
name: fig_perete
---
Peretele elastic al unei probe de Weald Clay cu $p'_0 = 400$ kPa, desfăcut în două proiecții cu aceeași axă $p'$. Jos: linia de descărcare–reîncărcare (verde), care pornește de pe NCL la $p'_0$ și taie CSL la $p'_0/2$. Sus: curba de curgere, adică intersecția peretelui cu suprafața Roscoe (portocaliu) și cu suprafața Hvorslev (roșu). Zona verde: stări elastice.
```

Câteva repere ale curbei de curgere se pot calcula fără niciun model:

- pe axa $p'$, curba pornește din $p'_0$ (acolo URL pleacă de pe NCL);
- vârful ei este pe CSL, în punctul în care URL taie CSL în planul de compresiune. Egalând $v$ de pe URL cu $v$ de pe CSL:

$$
N - \lambda\ln p'_0 + \kappa \ln\frac{p'_0}{p'} = \Gamma - \lambda \ln p'
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{p'}{p'_0} = \exp\!\left(-\frac{N - \Gamma}{\lambda - \kappa}\right) = \exp\!\left(-\frac{0{,}040}{0{,}058}\right) = 0{,}50\ [\text{–}] .
$$

Pentru $p'_0 = 400$ kPa vârful este la $p' = 200$ kPa și $q = 0{,}95 \cdot 200 = 190$ kPa.

Acest raport de 0,50 are o consecință practică. O probă descărcată izotrop până la $p' = p'_0/2$ se află exact sub CSL, la granița dintre „ud” și „uscat”. Deci, pentru Weald Clay:

- $R_p = p'_0/p' < 2$ [–]: probă „udă”, atinge curba de curgere pe partea Roscoe, se contractă, nu are vârf;
- $R_p > 2$ [–]: probă „uscată”, atinge curba pe partea Hvorslev, se dilată, are vârf.

Este regula „granița este în jur de OCR ≈ 2” din {ref}`stare`, de data aceasta cu demonstrație.

## Ce se întâmplă când starea atinge curba

Când drumul de eforturi ajunge la curba de curgere, proba nu se oprește. Începe să se deformeze plastic, iar volumul ei se schimbă **în afara** URL:

- pe partea Roscoe, proba se contractă plastic. Trece pe o URL mai joasă, care pleacă de pe NCL de la un $p'_0$ **mai mare**. Curba de curgere crește: proba s-a **întărit**. Este exact ce se întâmplă în edometru când depășim presiunea de preconsolidare;
- pe partea Hvorslev, proba se dilată plastic. Trece pe o URL mai înaltă, cu $p'_0$ **mai mic**. Curba de curgere se micșorează: proba s-a **înmuiat**. Acesta este vârful urmat de scăderea rezistenței;
- pe CSL nu se întâmplă nici una, nici alta: volumul nu se mai schimbă, curba de curgere stă pe loc, iar proba curge la eforturi constante. De aceea starea critică este **finalul** oricărui drum.

Avem astfel toate ingredientele unui model: o regiune elastică, o curbă de curgere și o regulă după care curba crește sau scade odată cu volumul. Ne lipsesc două lucruri, pe care le aduce capitolul 6: **ecuația** curbei de curgere și **direcția** deformațiilor plastice. Cu ele, suprafața de stare limită nu va mai fi un rezultat de laborator, ci o consecință.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Suprafața de stare limită este formată din limita de întindere, suprafața Hvorslev și suprafața Roscoe. Se sprijină pe NCL și are creasta pe CSL.
- În interior: comportare elastică; pe suprafață: curgere plastică; în exterior: stări imposibile.
- Stările elastice ale unei probe cu $p'_0$ [kPa] dat stau pe **peretele elastic**, ridicat deasupra URL. Nedrenat și elastic înseamnă $p'$ constant.
- Muchia de sus a peretelui este **curba de curgere**. Ea pornește din $p'_0$ și are vârful pe CSL, la $p' = p'_0 \exp[-(N-\Gamma)/(\lambda-\kappa)]$, adică $p'_0/2$ pentru Weald Clay.
- Curgerea pe partea „udă” mărește $p'_0$ (întărire); pe partea „uscată” îl micșorează (înmuiere).
```