4.9. Exerciții

Exercițiu 4.1

O probă în triaxial are \(\sigma_a = 450\) kPa, \(\sigma_r = 300\) kPa, \(u = 120\) kPa. Calculați \(p\), \(p'\), \(q\) [kPa]. Apoi, dacă \(u\) crește la 180 kPa fără să se schimbe eforturile totale, ce se schimbă și ce nu?

Soluția pentru Exercițiu 4.1

\(p = (450+600)/3 = 350\) kPa; \(p' = 350-120 = 230\) kPa; \(q = 150\) kPa. Cu \(u = 180\) kPa: \(p' = 350 - 180 = 170\) kPa, \(q = 150\) kPa neschimbat. Punctul s-a mutat 60 kPa spre stânga în planul \(q\)–\(p'\).

Exercițiu 4.2

Un nisip are \(\varphi'_{cs} = 33°\). Calculați \(M\) [–]. O probă consolidată izotrop la \(p'_0 = 150\) kPa este forfecată drenat (\(\sigma_r\) constant). La ce \(p'\) și \(q\) [kPa] va ajunge la stare critică? (Indicație: intersectați drumul 3:1 cu CSL.)

Soluția pentru Exercițiu 4.2

\(M = 6\sin 33°/(3-\sin 33°) = 3{,}268/2{,}455 = 1{,}33\) [–]. Drum: \(q = 3(p'-150)\). CSL: \(q = 1{,}33p'\). ⇒ \(3p' - 450 = 1{,}33p'\) ⇒ \(p'_{cs} = 450/1{,}67 = 269\) kPa, \(q_{cs} = 358\) kPa. Formula generală: \(p'_{cs} = 3p'_0/(3-M)\).

Exercițiu 4.3

Weald Clay (\(\lambda = 0{,}093\), \(\kappa = 0{,}035\), \(N = 2{,}10\), \(\Gamma = 2{,}06\), \(M = 0{,}95\) — toți [–]; \(N\) și \(\Gamma\) sunt valori ale lui \(v\) la \(p' = 1\) kPa). O probă este consolidată izotrop la 400 kPa, apoi descărcată la 100 kPa. a) Calculați \(v\) și \(\psi\) [–]. Este „udă” sau „uscată”? b) Dacă o forfecăm nedrenat, la ce \(p'\) [kPa] va ajunge la stare critică? Dar \(q\)? Deci \(c_u\) [kPa]? c) Răspundeți la b) pentru o probă NC la 100 kPa.

Soluția pentru Exercițiu 4.3

a) Pe NCL la 400 kPa: \(v = 2{,}10 - 0{,}093\ln 400 = 2{,}10 - 0{,}557 = 1{,}543\) [–]. Descărcare la 100 kPa: \(v = 1{,}543 + 0{,}035\ln 4 = 1{,}591\) [–]. \(v_{cs}(100) = 2{,}06 - 0{,}093\ln 100 = 1{,}632\). \(\psi = 1{,}591 - 1{,}632 = -0{,}041\) [–] ⇒ uscată (\(R_p = 400/100 = 4\) [–]).

b) Nedrenat: \(v\) = const = 1,591 [–]. Pe CSL: \(1{,}591 = 2{,}06 - 0{,}093\ln p'_{cs}\) ⇒ \(\ln p'_{cs} = 5{,}043\) ⇒ \(p'_{cs} = 155\) kPa (a crescut de la 100 — \(\Delta u<0\)). \(q_{cs} = 0{,}95\cdot155 = 147\) kPa; \(c_u = 74\) kPa.

c) NC la 100 kPa: \(v = 2{,}10 - 0{,}093\ln100 = 1{,}672\) [–]. \(\psi = +0{,}040\) [–], udă. Nedrenat: \(1{,}672 = 2{,}06 - 0{,}093\ln p'_{cs}\) ⇒ \(p'_{cs} = 65\) kPa (a scăzut); \(q_{cs} = 62\) kPa; \(c_u = 31\) kPa; \(c_u/p'_0 = 31/100 = 0{,}31\) [–].

Aceeași argilă, același \(p'\) inițial, dar \(c_u\) de 74 kPa față de 31 kPa — doar din cauza istoriei. Și am obținut aceste numere fără niciun model, doar din poziția CSL.

Exercițiu 4.4

Explicați de ce formula \(c_u = \tfrac{1}{2} M \exp\!\left(\dfrac{\Gamma - v}{\lambda}\right)\) este adevărată pentru orice probă saturată forfecată nedrenat până la stare critică, și verificați-o pe datele de la Exercițiu 4.3.

Soluția pentru Exercițiu 4.4

Nedrenat ⇒ \(v\) constant. La stare critică, \(v = \Gamma - \lambda\ln p'_{cs}\) ⇒ \(p'_{cs} = \exp[(\Gamma-v)/\lambda]\). Apoi \(q_{cs} = Mp'_{cs}\) și \(c_u = q_{cs}/2\). Nu am presupus nimic despre drum — doar că ajunge pe CSL.

Verificare b): \(\exp[(2{,}06-1{,}591)/0{,}093] = \exp(5{,}043) = 155\) kPa ✓; \(c_u = 0{,}475\cdot155 = 74\) kPa ✓.

Aceasta este cea mai importantă formulă din Partea II: rezistența nedrenată este o funcție de volumul specific. Cine știe \(v\) (din umiditate! \(v = 1 + w\,\gamma_s/\gamma_w\)) și cei trei parametri \(M\), \(\Gamma\), \(\lambda\) știe \(c_u\).

Exercițiu 4.5

Cu date de laborator. Trei epruvete din aceeași argilă remaniată au fost forfecate drenat în triaxial până la deformații mari, la care eforturile și volumul nu se mai schimbau. La sfârșit s-au notat eforturile efective și, după demontare, umiditatea (\(\gamma_s = 27{,}5\) kN/m³, \(\gamma_w = 10\) kN/m³, probe saturate):

Epruveta	\(\sigma'_r\) [kPa]	\(\sigma'_a\) [kPa]	\(w\) [%]
1	65	169	30,8
2	162	427	26,8
3	391	1018	23,0

a) Calculați pentru fiecare \(p'\), \(q\) [kPa] și \(v\) [–]. b) Determinați \(M\) [–] și \(\varphi'_{cs}\) [°]. c) Determinați \(\lambda\) și \(\Gamma\) [–]. d) Ce rezistență nedrenată \(c_u\) [kPa] ar avea o probă din aceeași argilă cu \(w = 28\,\%\)?

Soluția pentru Exercițiu 4.5

a) \(p' = (\sigma'_a + 2\sigma'_r)/3\), \(q = \sigma'_a - \sigma'_r\), \(v = 1 + w\,\gamma_s/\gamma_w\):

Epruveta	\(p'\) [kPa]	\(q\) [kPa]	\(q/p'\) [–]	\(v\) [–]
1	99,7	104	1,04	1,847
2	250	265	1,06	1,737
3	600	627	1,05	1,633

b) Raportul \(q/p'\) este practic același la toate: \(M \approx 1{,}05\) [–]. \(\sin\varphi'_{cs} = 3M/(6 + M) = 3{,}15/7{,}05 = 0{,}447 \Rightarrow \varphi'_{cs} = 26{,}5°\).

c) Între epruvetele 1 și 3: \(\lambda = (1{,}847 - 1{,}633)/\ln(600/99{,}7) = 0{,}214/1{,}795 = 0{,}12\) [–]. (Epruveta 2 verifică: \(1{,}847 - 0{,}12\ln(250/99{,}7) = 1{,}737\) ✓.) Apoi \(\Gamma = v + \lambda \ln p' = 1{,}847 + 0{,}12 \ln 99{,}7 = 2{,}40\) [–].

d) \(v = 1 + 0{,}28 \cdot 2{,}75 = 1{,}770\) [–]. Cu formula din Exercițiu 4.4: \(p'_{cs} = \exp[(2{,}40 - 1{,}770)/0{,}12] = \exp(5{,}25) = 191\) kPa; \(c_u = \tfrac12 \cdot 1{,}05 \cdot 191 = 100\) kPa.

Din trei încercări am obținut trei dintre cei cinci parametri. Observă cât de sensibil este rezultatul de la d) la umiditate: cu \(w = 29\,\%\) ar ieși \(c_u = 80\) kPa. Un punct procentual de umiditate înseamnă 20 % din rezistență.