Unde se duce lucrul mecanic: regula de curgere

6.2. Unde se duce lucrul mecanic: regula de curgere#

Intuiție

Împinge o cutie grea pe podea. Tot efortul tău se pierde prin frecare: cutia nu înmagazinează nimic. Acum împinge-o în sus pe o rampă: o parte din efort se duce pe frecare, o parte pe ridicat. Pe o rampă care coboară, greutatea te ajută. Granulele unui pământ forfecat fac același lucru: dacă trebuie să se ridice una peste alta (dilatare), forfecarea cere mai mult efort decât frecarea singură; dacă pot coborî una lângă alta (contracție), cere mai puțin.

6.2.1. Lucrul mecanic plastic#

Când un element de pământ aflat la eforturile \((p', q)\) suferă o mică deformație plastică, lucrul mecanic cheltuit pe unitatea de volum este (vezi Efortul mediu p' și efortul deviator q):

\[ \delta W^p = p'\,\delta\varepsilon_v^p + q\,\delta\varepsilon_s^p \qquad [\text{kPa} = \text{kJ/m}^3] . \]

Primul termen este lucrul efortului mediu la schimbarea volumului; al doilea, lucrul efortului deviator la schimbarea formei.

6.2.2. Ipoteza Cam-Clay original#

Roscoe, Schofield și Thurairajah (1963) au presupus că tot acest lucru mecanic se pierde prin frecare între granule, și că frecarea pierde la fel ca la stare critică, unde \(q = Mp'\) și volumul nu se schimbă:

\[ \underbrace{p'\,\delta\varepsilon_v^p + q\,\delta\varepsilon_s^p}_{\text{lucrul cheltuit}} = \underbrace{M\,p'\,\delta\varepsilon_s^p}_{\text{lucrul pierdut prin frecare}} . \]

Împărțim la \(p'\,\delta\varepsilon_s^p\) și notăm \(\eta = q/p'\) [–]:

\[ \boxed{\,\frac{\delta\varepsilon_v^p}{\delta\varepsilon_s^p} = M - \eta\,} \]

Aceasta este regula de curgere a modelului Cam-Clay original. Ea spune, pentru fiecare raport de eforturi, câtă deformație de volum însoțește o unitate de deformație de forfecare:

Raportul de eforturi

\(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p\) [–]

Ce face proba când curge

\(\eta < M\)

pozitiv

se contractă (partea „udă”)

\(\eta = M\)

zero

curge la volum constant: stare critică

\(\eta > M\)

negativ

se dilată (partea „uscată”)

Am regăsit, dintr-o singură ipoteză, tabloul din Afânat și îndesat: două drumuri spre același loc și Parametrul de stare: „ud” și „uscat”: starea critică este exact locul în care efortul deviator abia ajunge pentru frecare, fără nimic rămas pentru schimbarea volumului.

Aceeași idee, în cutia de forfecare

Scrisă invers, regula este \(\eta = M - \delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p\): raportul de eforturi pe care îl poate duce proba este frecarea (\(M\)) plus viteza de dilatare (dilatarea are \(\delta\varepsilon_v^p < 0\)). Taylor a scris în 1948 aceeași relație pentru cutia de forfecare: \(\tau/\sigma'_n = \tan\varphi'_{cs} + \mathrm{d}y/\mathrm{d}x\), unde \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\) este ridicarea capacului pe unitatea de deplasare. De aici vine vârful de rezistență al probelor îndesate: este frecare plus „urcatul rampei”.

6.2.3. Ipoteza Cam-Clay modificat#

Regula \(M - \eta\) are un defect la \(\eta = 0\). Într-o compresiune izotropă (\(q = 0\)) ea cere \(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = M\): proba ar trebui să se deformeze la forfecare deși o strângem egal din toate părțile. Nu se întâmplă așa.

Roscoe și Burland (1968) au corectat expresia lucrului pierdut, astfel încât la \(\eta = 0\) să nu apară forfecare:

\[ p'\,\delta\varepsilon_v^p + q\,\delta\varepsilon_s^p = p'\sqrt{(\delta\varepsilon_v^p)^2 + (M\,\delta\varepsilon_s^p)^2} . \]

La stare critică (\(\delta\varepsilon_v^p = 0\)) membrul drept este tot \(Mp'\,\delta\varepsilon_s^p\), ca înainte. Ridicând la pătrat și simplificând:

\[ \boxed{\,\frac{\delta\varepsilon_v^p}{\delta\varepsilon_s^p} = \frac{M^2 - \eta^2}{2\,\eta}\,} \]

Aceasta este regula de curgere a modelului Cam-Clay modificat. Tabelul de mai sus rămâne valabil cuvânt cu cuvânt (contracție sub \(M\), zero la \(M\), dilatare peste \(M\)). Diferența este la capete: când \(\eta \to 0\), raportul tinde la infinit, adică deformația plastică este numai de volum, cum trebuie.

../_images/dilatanta.svg

Figura 6.1 Regula de curgere în cele două variante (Weald Clay, \(M = 0{,}95\)): raportul dintre deformația plastică de volum și cea de forfecare, în funcție de raportul de eforturi. Ambele curbe trec prin zero la \(\eta = M\). Sub \(M\) proba se contractă, peste \(M\) se dilată. La \(\eta \to 0\) varianta originală dă valoarea finită \(M\), iar cea modificată tinde la infinit (numai deformație de volum).#

Exemplu

O probă de Weald Clay curge plastic la \(p' = 200\) kPa și \(q = 100\) kPa, deci \(\eta = 0{,}50\) [–].

  • Cam-Clay original: \(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = 0{,}95 - 0{,}50 = 0{,}45\) [–].

  • Cam-Clay modificat: \((0{,}9025 - 0{,}25)/(2 \cdot 0{,}50) = 0{,}65\) [–].

În ambele, proba se contractă. După modelul modificat, la fiecare 1 % de deformație plastică de forfecare apar 0,65 % deformație plastică de volum.

6.2.4. Ce este și ce nu este această ipoteză#

Ecuația lucrului mecanic nu este o lege a naturii. Este o presupunere simplă despre cum pierde energie un material granular, aleasă pentru că dă rezultate apropiate de măsurători. Cele două variante sunt două presupuneri diferite, iar faptul că a doua se potrivește mai bine cu argilele normal consolidate este un rezultat de laborator, nu o demonstrație. Modelele mai noi (capitolul 10) pornesc de la alte expresii ale energiei pierdute.

Rezumat

  • Ipoteza: lucrul mecanic plastic se pierde în întregime prin frecare.

  • Rezultă regula de curgere: \(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = M - \eta\) (original) sau \((M^2-\eta^2)/(2\eta)\) (modificat).

  • În ambele: contracție pentru \(\eta < M\), volum constant la \(\eta = M\), dilatare pentru \(\eta > M\).

  • Varianta modificată nu produce forfecare în compresiune izotropă.

Cuprins