6.8. Exerciții

Toate exercițiile folosesc Weald Clay (\(\lambda = 0{,}093\), \(\kappa = 0{,}035\), \(N = 2{,}100\), \(\Gamma = 2{,}060\), \(M = 0{,}95\), toți [–]).

Exercițiu 6.1

O probă are presiunea de preconsolidare \(p'_0 = 300\) kPa. a) Calculați efortul deviator de pe curba de curgere la \(p' = 150\) kPa și la \(p' = 250\) kPa, în modelul original și în cel modificat. b) La ce \(p'\) [kPa] taie fiecare curbă linia stării critice? c) Care dintre modele dă o zonă elastică mai mare?

Soluția pentru Exercițiu 6.1

a) Original, \(q = M p'\ln(p'_0/p')\): la 150 kPa, \(q = 0{,}95 \cdot 150 \cdot \ln 2 = 99\) kPa; la 250 kPa, \(q = 0{,}95 \cdot 250 \cdot \ln 1{,}2 = 43\) kPa. Modificat, \(q = M\sqrt{p'(p'_0 - p')}\): la 150 kPa, \(q = 0{,}95\sqrt{150 \cdot 150} = 142{,}5\) kPa; la 250 kPa, \(q = 0{,}95\sqrt{250 \cdot 50} = 106\) kPa.

b) Original: \(p' = 300/2{,}72 = 110\) kPa. Modificat: \(p' = 300/2 = 150\) kPa.

c) Cel modificat: elipsa este peste tot deasupra curbei originale. Pentru același \(p'_0\), modelul modificat prezice că proba rămâne elastică până la eforturi deviatoare mai mari.

Exercițiu 6.2

O probă are \(p'_0 = 400\) kPa. Pentru fiecare dintre stările de mai jos, spuneți (în Cam-Clay modificat) dacă proba este în domeniul elastic, pe curba de curgere sau dacă starea cere o curbă de curgere mai mare; în ultimul caz, calculați noul \(p'_0\) [kPa].

Starea	\(p'\) [kPa]	\(q\) [kPa]
A	300	100
B	300	180
C	100	150

Soluția pentru Exercițiu 6.2

Calculăm pentru fiecare \(p'_{0,\,cerut} = p' + q^2/(M^2 p')\) și comparăm cu 400 kPa.

• A: \(300 + 100^2/(0{,}9025 \cdot 300) = 300 + 37 = 337\) kPa \(< 400\): elastic.

• B: \(300 + 180^2/(0{,}9025 \cdot 300) = 300 + 120 = 420\) kPa \(> 400\): starea este în afara curbei actuale. Proba a curs plastic, iar \(p'_0\) a crescut la 420 kPa.

• C: \(100 + 150^2/(0{,}9025 \cdot 100) = 100 + 249 = 349\) kPa \(< 400\): elastic.

Starea C merită atenție: are \(q/p' = 1{,}5\) [–], mult peste \(M = 0{,}95\), și totuși modelul o consideră elastică. Pe partea „uscată”, o probă poate sta deasupra liniei stării critice fără să curgă; linia stării critice nu este o limită de cedare, ci locul unde se termină curgerea. (Amintește-ți însă din Întărirea și suprafața de stare limită, regăsită că aici modelul este optimist.)

Exercițiu 6.3

O probă cu \(p'_0 = 300\) kPa se află pe curba de curgere (model modificat) la \(p' = 250\) kPa. a) Calculați \(q\) [kPa], \(\eta\) [–] și volumul specific \(v\) [–]. b) În ce raport sunt deformațiile plastice de volum și de forfecare? c) Într-un pas mic de încărcare, deformația plastică de volum este 0,20 %. Cât este deformația plastică de forfecare [%]? La cât a ajuns \(p'_0\) [kPa]?

Soluția pentru Exercițiu 6.3

a) \(q = 0{,}95\sqrt{250 \cdot 50} = 106\) kPa; \(\eta = 106/250 = 0{,}425\) [–]; \(v = 2{,}100 - 0{,}093\ln 300 + 0{,}035\ln(300/250) = 2{,}100 - 0{,}530 + 0{,}006 = 1{,}576\) [–].

b) \(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = (0{,}9025 - 0{,}1806)/(2 \cdot 0{,}425) = 0{,}85\) [–].

c) \(\delta\varepsilon_s^p = 0{,}20/0{,}85 = 0{,}24\,\%\). Din regula de întărire, \(\delta p'_0/p'_0 = \delta\varepsilon_v^p\,v/(\lambda - \kappa) = 0{,}0020 \cdot 1{,}576/0{,}058 = 0{,}054\), deci \(p'_0 \approx 300 \cdot 1{,}054 = 316\) kPa.

O contracție plastică de numai 0,2 % a mărit zona elastică cu peste 5 %. De aceea argilele moi „se întăresc” vizibil la preîncărcare.

Exercițiu 6.4

a) Refaceți, pentru Cam-Clay original, calculul care a dat \(N - \Gamma\): scrieți ecuația suprafeței de stare limită \(v(p', \eta)\) și arătați că \(N - \Gamma = \lambda - \kappa\). b) Ce valoare \(N\) ar avea Weald Clay în modelul original, păstrând \(\Gamma = 2{,}060\)? c) Pentru o probă normal consolidată forfecată nedrenat, calculați \(c_u/p'_0\) [–] în ambele modele.

Soluția pentru Exercițiu 6.4

a) Curba de curgere originală: \(\eta = M\ln(p'_0/p')\), deci \(\ln(p'_0/p') = \eta/M\). Înlocuind în \(v = N - \lambda\ln p'_0 + \kappa\ln(p'_0/p') = N - \lambda\ln p' - (\lambda - \kappa)\ln(p'_0/p')\):

\[ v = N - \lambda\ln p' - (\lambda - \kappa)\,\frac{\eta}{M} . \]

La \(\eta = M\): \(v = N - (\lambda-\kappa) - \lambda\ln p'\), deci \(\Gamma = N - (\lambda - \kappa)\).

b) \(N = 2{,}060 + 0{,}058 = 2{,}118\) [–] (față de 2,100 în modelul modificat).

c) Nedrenat, \(v\) este constant și egal cu \(N - \lambda\ln p'_0\). La stare critică \(v = \Gamma - \lambda\ln p'_{cs}\), deci \(p'_{cs}/p'_0 = \exp[-(N - \Gamma)/\lambda]\).

• Original: \(\exp(-0{,}058/0{,}093) = \exp(-0{,}624) = 0{,}536\); \(c_u/p'_0 = \tfrac12 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}536 = 0{,}25\) [–].

• Modificat: \(2^{-0{,}624} = 0{,}649\); \(c_u/p'_0 = \tfrac12 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}649 = 0{,}31\) [–].

Aceleași patru constante de material, două modele, o diferență de 20 % la rezistența nedrenată. Alegerea modelului nu este un detaliu.

Exercițiu 6.5

Cu date de laborator. O epruvetă de Weald Clay remaniată a fost consolidată izotrop la \(p'_0 = 300\) kPa (presiune în celulă 500 kPa, contrapresiune 200 kPa) și forfecată nedrenat cu presiunea din celulă constantă. S-au citit:

Efort deviator \(q\) [kPa]	60	120	160	185
Presiunea apei din pori \(u\) [kPa]	230	279	321	365

a) Calculați \(p'\) [kPa] și \(\eta\) [–] la fiecare citire. b) Comparați \(p'\) măsurat cu cel prezis de Cam-Clay modificat pentru același \(\eta\). c) A ajuns proba la stare critică la ultima citire?

Soluția pentru Exercițiu 6.5

a) Efortul mediu total este \(p = 500 + q/3\) (numai efortul axial crește), iar \(p' = p - u\).

b) Modelul: \(p' = 300\,[M^2/(M^2 + \eta^2)]^{0{,}624}\).

\(q\) [kPa]	\(p\) [kPa]	\(u\) [kPa]	\(p'\) măsurat [kPa]	\(\eta\) [–]	\(p'\) model [kPa]	diferență [%]
60	520	230	290	0,21	292	−0,5
120	540	279	261	0,46	263	−0,8
160	553	321	232	0,69	231	+0,8
185	562	365	197	0,94	196	+0,4

Diferențele sunt sub 1 %, adică 1–2 kPa: mai puțin decât precizia unui traductor de presiune obișnuit. (Datele sunt inventate pentru exercițiu; pe o argilă reală, o potrivire în limita a 5–10 % este deja foarte bună.)

c) Aproape: \(\eta = 0{,}94\) față de \(M = 0{,}95\). Modelul prezice la stare critică \(p' = 0{,}649 \cdot 300 = 195\) kPa și \(q = 185\) kPa. Deci \(c_u \approx 92\) kPa și \(c_u/p'_0 = 0{,}31\) [–].

Exercițiu 6.6

Un coleg modelează cu Cam-Clay modificat o excavație într-o argilă rigidă, puternic supraconsolidată (\(R_p \approx 10\)), și obține deformații foarte mici și un factor de siguranță mare. Ce verificări îi propuneți, pe baza celor învățate în acest capitol și în Partea „uscată”: suprafața Hvorslev și limita de întindere?

Soluția pentru Exercițiu 6.6

La \(R_p \approx 10\), stările din jurul excavației sunt adânc în partea „uscată”, unde elipsa stă mult deasupra suprafeței Hvorslev și chiar a limitei de întindere. Modelul consideră elastice stări în care argila reală a cedat deja. Rezultatul lui este optimist din construcție.

Verificări:

1. Să deseneze câteva stări calculate în planul \(q\)–\(p'\) (sau normalizat cu \(p'_e\)) și să vadă dacă au \(q/p' > M\) sau chiar \(q > 3p'\). Dacă da, rezistența folosită de program nu există în realitate.

2. Să compare rezistența de vârf din model cu cea măsurată în triaxial pe probe din amplasament.

3. Să refacă verificarea de stabilitate pe termen lung cu rezistența de stare critică (\(\varphi'_{cs}\), fără coeziune), care nu depinde de partea stângă a elipsei.

4. Să folosească un model cu suprafață de tip Hvorslev sau cu limită de întindere pe partea „uscată”, dacă programul îl oferă.